P h y s i c s S t u d y N o t e s A r t i c l e s 2 1 T a g s 1 1 C a t e g o r i e s 3 H o m e A r c h i v e s T a g s C a t e g o r i e s L i s t M u s i c A n i m e L i n k 留 言 板 P h y s i c s S t u d y N o t e s S e a r c h H o m e A r c h i v e s T a g s C a t e g o r i e s L i s t M u s i c A n i m e L i n k 留 言 板 P h y s i c s S t u d y N o t e s M y G O ! ! ! ! ! × A v e M u j i c a 合 同 L I V E 「 わ か れ 道 の 、 そ の 先 へ 」 C r e a t e d 2 0 2 5 0 4 2 7 | 杂 谈 M y G O ! ! ! ! ! × A v e M u j i c a 合 同 L I V E 「 わ か れ 道 の 、 そ の 先 へ 」 网 盘 链 接 极 空 间 分 享 ： 【 o u t p u t . m p 4 】 h t t p s : / / t . z n a s . c n / q a u B g D O D i 双 飞 秒 激 光 实 现 电 子 阿 秒 尺 度 的 调 控 C r e a t e d 2 0 2 5 0 3 3 0 | 本 研 笔 记 文 献 ： h t t p s : / / l i n k . a p s . o r g / d o i / 1 0 . 1 1 0 3 / P h y s R e v A . 1 0 9 . 0 4 3 1 1 5 光 场 形 状 的 调 控 采 用 4 f 系 统 ， 通 过 在 频 谱 面 上 进 行 相 位 和 振 幅 的 修 改 ， 来 实 现 对 于 光 场 形 状 的 精 确 调 控 \ \ b e g i n f _ s \ \ l e f t ( \ \ o m e g a _ s , t \ \ r i g h t ) \ \ s q r t \ \ s u m _ , \ \ l a m b d a } \ \ h b a r \ \ o m e g a _ k = \ \ s u m _ } \ \ h b a r \ \ o m e g a _ k 两 块 大 而 平 行 的 导 体 板 之 间 相 距 $ d $ 。 我 们 定 义 一 个 坐 标 系 ， 其 中 $ ( x , y ) $ 平 面 与 导 体 板 的 表 面 平 行 ， $ z $ 方 向 表 示 与 某 一 表 面 垂 直 的 距 离 。 这 使 得 我 们 可 以 写 出 一 个 势 能 函 数 U ( d ) = E _ 0 ( d ) E _ 0 ( \ \ i n f t y ) 这 仅 给 出 了 有 限 和 无 限 间 隔 的 板 之 间 真 空 能 量 的 差 异 。 将 ( 1 ) 与 ( 2 ) 结 合 ， 我 们 得 到 E _ 0 ( d ) = \ \ h b a r \ \ s u m _ \ \ o m e g a _ k = \ \ h b a r c \ \ s u m _ \ \ s q r t \ \ r i g h t ) ^ 2 } （ 实 际 上 ， 这 个 方 程 在 $ n = 0 $ 项 . . . 拓 扑 场 论 简 介 C r e a t e d 2 0 2 5 0 1 0 1 | 课 程 学 习 笔 记 拓 扑 场 论 简 介 1 . 回 顾 Q H E 材 料 中 的 电 子 在 受 到 磁 场 的 作 用 下 会 做 圆 周 运 动 ， 其 转 动 的 频 率 我 们 称 之 为 拉 莫 尔 频 率 。 在 量 子 力 学 中 ， 我 们 可 以 用 一 个 等 效 的 谐 振 子 模 型 来 描 述 这 个 运 动 ， 从 而 电 子 形 成 的 相 应 能 级 我 们 称 之 为 L a n d a u 能 级 ， 满 足 E = \ \ h b a r \ \ o m e g a _ B ( n + \ \ f r a c ) 其 中 $ \ \ o m e g a _ B = \ \ f r a c $ 。 电 子 在 材 料 的 边 缘 处 会 产 生 边 缘 态 （ e d g e s t a t e ） ， 由 于 电 子 在 边 缘 的 运 动 方 向 是 单 一 的 且 由 磁 场 决 定 ， 我 们 称 这 种 态 为 手 征 边 缘 态 。 如 果 我 们 在 材 料 的 两 侧 加 上 电 压 （ 当 然 是 和 磁 场 垂 直 的 方 向 ） ， 那 么 两 侧 的 边 缘 态 的 费 米 能 级 就 会 发 生 变 化 ， 其 在 实 际 中 反 应 为 两 边 的 电 子 数 将 发 生 变 化 ， 这 可 以 等 效 为 一 个 霍 尔 电 导 。 在 直 观 上 ， 手 征 边 缘 态 应 该 是 完 美 的 电 流 传 输 通 道 ， 而 量 子 力 学 限 制 单 个 传 输 通 道 的 最 大 电 导 率 为 $ G _ 0 = e ^ 2 / h $ ， 所 以 整 个 材 料 的 霍 尔 电 导 为 \ \ s i g m a _ H = n \ \ f r a c 其 中 $ n $ 为 通 道 数 ， 也 就 是 电 子 所 占 有 的 L a n d a u 能 级 的 数 量 。 在 拓 扑 绝 缘 体 中 ， 其 受 拓 扑 性 质 保 护 ， 我 们 可 以 用 第 一 类 C h e r n 数 来 表 示 此 占 有 数 n = C _ 1 2 . 二 维 拓 扑 绝 缘 体 的 等 效 作 用 量 . . . 量 子 霍 尔 效 应 （ 二 ） C r e a t e d 2 0 2 4 1 2 3 1 | 课 程 学 习 笔 记 从 边 缘 态 看 量 子 霍 尔 效 应 1 . 边 缘 态 的 经 典 图 像 当 考 察 一 个 霍 尔 圆 柱 时 ， 我 们 将 证 明 样 本 边 缘 上 存 在 局 域 化 的 电 子 态 。 事 实 上 ， 证 明 这 些 态 必 须 存 在 是 非 常 容 易 的 。 我 们 只 需 要 再 次 思 考 一 个 电 子 在 垂 直 磁 场 $ B $ 中 运 动 时 的 经 典 轨 迹 。 这 个 轨 迹 是 一 个 圆 形 轨 道 ， 半 径 由 回 旋 半 径 给 出 。 当 电 子 的 轨 道 中 心 距 离 圆 柱 体 的 边 缘 太 近 时 ， 比 如 距 离 小 于 一 个 回 旋 半 径 时 ， 经 典 轨 迹 会 发 生 什 么 ？ 这 个 问 题 比 起 说 起 来 ， 画 出 来 更 加 容 易 ： 电 子 不 能 离 开 样 本 ， 需 要 在 内 部 反 弹 。 这 会 形 成 所 谓 的 跳 跃 轨 道 （ s k i p p i n g o r b i t ） 。 在 实 际 样 本 中 ， 会 有 一 个 限 制 电 子 的 电 势 ， 这 个 电 势 将 电 子 保 持 在 霍 尔 条 （ H a l l b a r ） 或 圆 柱 体 内 。 体 内 的 强 磁 场 和 限 制 电 势 的 组 合 会 在 边 缘 产 生 不 闭 合 的 轨 迹 ， 这 些 轨 迹 沿 着 整 个 边 缘 传 播 。 在 下 边 缘 只 有 向 左 运 动 的 态 ， 而 在 上 边 缘 只 有 向 右 运 动 的 态 。 每 个 边 缘 上 只 有 沿 一 个 方 向 传 播 的 态 ， 并 且 对 立 边 缘 的 传 播 方 向 是 相 反 的 。 这 些 在 边 缘 上 获 得 的 奇 特 态 通 常 被 称 为 手 征 边 缘 态 （ c h i r a l e d g e s t a t e s ） 。 边 缘 的 手 征 性 由 磁 场 的 方 向 决 定 （ 垂 直 于 平 面 向 外 或 向 内 ） ， 如 果 磁 场 方 向 反 转 ， 两 个 边 缘 的 传 播 方 向 也 会 反 转 。 上 面 的 示 意 图 完 全 基 于 经 典 物 理 ， 需 要 用 量 子 力 学 . . . 量 子 霍 尔 效 应 （ 一 ） C r e a t e d 2 0 2 4 1 2 3 1 | 课 程 学 习 笔 记 量 子 霍 尔 效 应 量 子 霍 尔 效 应 （ Q u a n t u m H a l l E f f e c t , Q H E ） 是 凝 聚 态 物 理 中 的 一 个 重 要 现 象 ， 主 要 观 察 于 二 维 电 子 气 体 （ 2 D E G ） 在 低 温 和 强 磁 场 下 。 其 核 心 特 征 是 霍 尔 电 导 的 量 子 化 ， 即 霍 尔 电 导 呈 现 出 离 散 的 量 子 值 。 以 下 将 从 L a n d a u 能 级 的 概 念 出 发 ， 详 细 推 导 量 子 霍 尔 效 应 的 理 论 基 础 。 1 . 二 维 电 子 气 体 中 的 电 子 运 动 考 虑 一 个 位 于 $ x y $ 平 面 内 的 二 维 电 子 气 体 系 统 ， 在 垂 直 于 平 面 的 外 加 均 匀 磁 场 $ \ \ m a t h b f = B \ \ h a t $ 作 用 下 。 电 子 的 哈 密 顿 量 为 ： H = \ \ f r a c \ \ l e f t ( \ \ m a t h b f + e \ \ m a t h b f \ \ r i g h t ) ^ 2 其 中 ： $ m ^ * $ 为 电 子 的 有 效 质 量 ， $ e $ 为 电 子 的 基 本 电 荷 ， $ \ \ m a t h b f $ 为 矢 势 ， 满 足 $ \ \ n a b l a \ \ t i m e s \ \ m a t h b f = \ \ m a t h b f $ 。 常 用 的 规 范 是 规 范 选 择 ， 例 如 L a n d a u 规 范 ： \ \ m a t h b f = ( B y , 0 , 0 ) 或 者 对 称 规 范 ： \ \ m a t h b f = \ \ f r a c ( y , x , 0 ) 2 . 解 薛 定 谔 方 程 ： L a n d a u 能 . . . 1 2 3 H a o r a n D o n g A r t i c l e s 2 1 T a g s 1 1 C a t e g o r i e s 3 F o l l o w M e A n n o u n c e m e n t I w i l l s h a r e s o m e o f m y n o t e s h e r e , i n c l u d i n g c l a s s n o t e s , r e s e a r c h n o t e s , m i s c e l l a n e o u s t a l k s , e t c R e c e n t P o s t M y G O ! ! ! ! ! × A v e M u j i c a 合 同 L I V E 「 わ か れ 道 の 、 そ の 先 へ 」 2 0 2 5 0 4 2 7 双 飞 秒 激 光 实 现 电 子 阿 秒 尺 度 的 调 控 2 0 2 5 0 3 3 0 隧 穿 电 离 过 程 中 的 非 偶 极 效 应 2 0 2 5 0 3 3 0 光 学 讨 论 班 1 — — E l e c t r o s t a t i c A n a l o g s a n d D i ff r a c t i o n 2 0 2 5 0 3 0 2 论 D e e p S e e k 到 底 能 有 多 中 二 2 0 2 5 0 2 1 4 C a t e g o r i e s 本 研 笔 记 5 杂 谈 3 课 程 学 习 笔 记 1 3 T a g s 机 器 学 习 拓 扑 场 论 M Y G O 量 子 力 学 M u j i c a 计 算 机 计 算 物 理 A M O A I 电 动 力 学 随 想 A r c h i v e s A p r i l 2 0 2 5 1 M a r c h 2 0 2 5 3 F e b r u a r y 2 0 2 5 1 J a n u a r y 2 0 2 5 3 D e c e m b e r 2 0 2 4 6 N o v e m b e r 2 0 2 4 1 S e p t e m b e r 2 0 2 4 1 J u n e 2 0 2 4 1 I n f o A r t i c l e : 2 1 U V : P V : L a s t U p d a t e : © 2 0 2 0 2 0 2 5 B y H a o r a n D o n g F r a m e w o r k H e x o | 浙 I C P 备 2 0 2 5 1 4 5 1 7 7 号 | T h e m e B u t t e r f l y S e a r c h L o a d i n g t h e D a t a b a s e

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